Решение тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений:

Решим уравнение sinx=1/2

Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота х, которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна 1/2.

Отметим на оси ординат точку с ординатой 1/2:

 Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с оружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие  ординату 1/2. Эти точки соответствуют углам поворота на ∏/6 и 5∏/6 радиан:

 Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на ∏/6  радиан, обойдем полный круг, то мы прийдем в точку, соответствующую углу поворота на ∏/6+2∏ радиан и имеющую ту же ординату. То есть этот угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно «холостых» оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению.

То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:

x₁=∏/6+2∏k, где kZ, Z – множество целых чисел (1)

Аналогично, вторая серия решений имеет вид:

x₂=5∏/6+2∏k, где kZ. (2)

Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, сответствующая углу поворота на 5∏/6.

Эти две серии решений можно  объединить в одну запись:

х=(-1)ⁿ∏/6+∏n,

где nZ.

Если мы в этой записи возьмем n=2k ( то есть четное n ), то мы получим первую серию решений.

Если мы в этой записи возьмем n=2k+1 ( то есть нечетное n ), то мы получим вторую  серию решений

Частные случаи:

1. Приведение к простейшим тригонометрическим уравнениям. 
2. Метод замены переменной
3. Метод понижения порядка уравнения
4. Однородные уравнения
5. Метод преобразования с помощью формул
6. Графический метод

Источник http://www.tutoronline.ru/blog/feb_2012/osnovnye-metody-reshenija-trigonometricheskih-uravnenij.aspx
http://ege-ok.ru

http://www.pm298.ru