Теоретический материал

Тригономе́трия  — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология,картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

В Школе СССР имела статус учебного предмета.

Тригонометрические функции:

• Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
• Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
• Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
• Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
• Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
• Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.

Графики функций

y=ctg x

y=tg x

y=sin x

y=cos x

Основные тригонометрические тождества:

1. sin² α + cos² α = 1 
2. tg α · ctg α = 1
3. tg α = sin α ÷ cos α 
4. ctg α = cos α ÷ sin α 
5. 1 + tg² α = 1 ÷ cos² α 
6. 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Формулы сложения:

1. sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
2. sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
3. cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
5. tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
6. tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
7. ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
8. ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Формулы двойного угла:

1. cos 2α = cos² α - sin² α
2. cos 2α = 2cos² α - 1
3. cos 2α = 1 - 2sin² α
4. sin 2α = 2sin α · cos α
5. tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
6. ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Формулы тройного угла:

1. sin 3α = 3sin α - 4sin³ α
2. cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
3. tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
4. ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Формулы понижения степени:

1. sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
2. sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
3. cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
4. cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
5. sin² α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
6. sin³ α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Переход от произведения к сумме:

1. sin α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
2. sin α · sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
3. cos α · cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Формулы приведения:

sin (π/2 + α) = cos α

sin (π + α) = - sin α

sin (3π/2 + α) = - cos α

sin (π/2 - α) = cos α

sin (π - α) = sin α

sin (3π/2 - α) = - cos α

sin (2π - α) = - sin α

cos (π/2 + α) = - sin α

cos (π + α) = - cos α

cos (3π/2 + α) = sin α

cos (π/2 - α) = sin α

cos (π - α) = - cos α

cos (3π/2 - α) = - sin α

cos (2π - α) = cos α

tg (π/2 + α) = - ctg α

tg (π + α) = tg α

tg (3π/2 + α) = - ctg α

tg (π/2 - α) = ctg α

tg (π - α) = - tg α

tg (3π/2 - α) = ctg α

tg (2π - α) = tg α

ctg (π/2 + α) = - tg α

ctg (π + α) = ctg α

ctg (3π/2 + α) = - tg α

ctg (π/2 - α) = tg α

ctg (π - α) = - ctg α

ctg (3π/2 - α) = tg α

ctg (2π - α) = ctg α

Функция (угол в º)	90º - α	90º + α	180º - α	180º + α	270º - α	270º + α	360º - α	360º +  α
sin	cos α	cos α	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α
cos	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α	cos α	cos α
tg	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α
ctg	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α
Функция (угол в рад.)	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π – α	2π + α

Обратные тригонометрические формулы:

Источник http://ru.wikipedia.org
http://images.yandex.ru
http://uztest.ru/
http://edu.glavsprav.ru
http://ndspaces.narod.ru
http://slovari.yandex.ru